人教版高一数学上册教案

学习目标

1. 深入理解函数的单调性：通过具体例子和图象，进一步理解函数的单调性，并能够利用单调性结合函数图象求解函数的最小值与最大值。

2. 准确表示函数的值域：掌握如何根据函数的单调性及其图象，准确地表示出函数的值域。

3. 理性描述生活现象：通过函数单调性的教学，培养学生在感性认知的基础上学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象。

学习重点

- 结合函数的性质求最值。这是本节课的核心内容，学生需要通过具体的例题和练习，熟练掌握如何利用函数的单调性来求解最值问题。

学习难点

- 二次函数中的参数问题：二次函数是高中数学中常见的函数类型之一，其参数的变化对函数的形状和性质有重要影响。特别是在求最值时，参数的选择和变化会直接影响到解题思路和结果。因此，如何灵活处理二次函数中的参数问题是本节课的重点和难点。

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自主预习

最值的概念

一般地，设函数 \( f(x) \) 的定义域为 \( D \)。

如果存在定值 \( M \)，使得对于任意 \( x \in D \)，有 \( f(x) \leq M \) 恒成立，则称 \( M \) 为 \( f(x) \) 的最大值，记作 \( f(x)_{\text{max}} = M \)；

如果存在定值 \( m \)，使得对于任意 \( x \in D \)，有 \( f(x) \geq m \) 恒成立，则称 \( m \) 为 \( f(x) \) 的最小值，记作 \( f(x)_{\text{min}} = m \)。

单调性与最值

设函数 \( f(x) \) 的定义域为 \( D \)：

- 如果 \( f(x) \) 是增函数，则 \( f(x) \) 在 \( D \) 上的最小值为 \( f(a) \)，其中 \( a \) 是 \( D \) 中的最小元素；最大值为 \( f(b) \)，其中 \( b \) 是 \( D \) 中的最大元素。

- 如果 \( f(x) \) 是减函数，则 \( f(x) \) 在 \( D \) 上的最大值为 \( f(a) \)，最小值为 \( f(b) \)。

图像法求最值

通过观察函数的图像，可以直观地找到函数的最大值和最小值。例如，给定一个函数 \( y = f(x) \) 的图像，我们可以从图像中直接读取最高点和最低点的坐标，从而确定函数的最大值和最小值。此外，还可以通过图像判断函数的单调区间，进而辅助求解最值问题。

练习：

如图为函数 \( y = f(x) \)，\( x \in [-3, 4] \) 的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间。


分析：

1. 观察图像，可以看出函数在区间 \([-3, 0]\) 上是单调递增的，在区间 \([0, 4]\) 上是单调递减的。

2. 函数在 \( x = 0 \) 处取得最大值 \( f(0) = 5 \)。

3. 函数在 \( x = -3 \) 和 \( x = 4 \) 处分别取得最小值 \( f(-3) = -2 \) 和 \( f(4) = -3 \)。

因此，该函数的最大值为 \( 5 \)，最小值为 \( -3 \)，单调递增区间为 \([-3, 0]\)，单调递减区间为 \([0, 4]\)。

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知识应用

【例1】求下列函数的最小值：

1. \( f(x) = x^2 + 2x + 3 \)

2. \( g(x) = -x^2 + 4x - 1 \)，\( x \in [0, 3] \)

解题思路：

1. 对于 \( f(x) = x^2 + 2x + 3 \)，首先考虑其开口方向和顶点位置。这是一个开口向上的抛物线，其顶点可以通过公式 \( x = -\frac{b}{2a} \) 计算得出：

\[ x = -\frac{2}{2 \times 1} = -1 \]

将 \( x = -1 \) 代入原函数：

\[ f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \]

因此，函数 \( f(x) = x^2 + 2x + 3 \) 的最小值为 \( 2 \)。

2. 对于 \( g(x) = -x^2 + 4x - 1 \)，这是一个开口向下的抛物线，顶点位置同样可以通过公式 \( x = -\frac{b}{2a} \) 计算得出：

\[ x = -\frac{4}{2 \times (-1)} = 2 \]

将 \( x = 2 \) 代入原函数：

\[ g(2) = -(2)^2 + 4(2) - 1 = -4 + 8 - 1 = 3 \]

接下来，我们需要检查边界点 \( x = 0 \) 和 \( x = 3 \)：

\[ g(0) = -(0)^2 + 4(0) - 1 = -1 \]

\[ g(3) = -(3)^2 + 4(3) - 1 = -9 + 12 - 1 = 2 \]

比较三个值 \( g(0) = -1 \)，\( g(2) = 3 \)，\( g(3) = 2 \)，可以得出函数 \( g(x) \) 在区间 \([0, 3]\) 上的最小值为 \( -1 \)。

变式练习：

1. 将 \( f(x) = x^2 + 2x + 3 \) 的定义域变为 \( x \in [-2, 0] \) 或 \( x \in [0, 2] \) 或 \( x \in [-2, 2] \)，再求最值。

2. 将 \( g(x) = -x^2 + 4x - 1 \) 的定义域变为 \( x \in [1, 4] \)，结果如何？

解答：

1. 对于 \( f(x) = x^2 + 2x + 3 \)：

- 当 \( x \in [-2, 0] \) 时，函数在区间内单调递增，最小值为 \( f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) + 3 = 3 \)。

- 当 \( x \in [0, 2] \) 时，函数在区间内单调递增，最小值为 \( f(0) = 3 \)。

- 当 \( x \in [-2, 2] \) 时，函数在 \( x = -1 \) 处取得最小值 \( 2 \)。

2. 对于 \( g(x) = -x^2 + 4x - 1 \)：

- 当 \( x \in [1, 4] \) 时，函数在 \( x = 2 \) 处取得最大值 \( 3 \)，最小值为 \( g(4) = -3 \)。

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【例2】已知函数 \( f(x) \) 的定义域是 \( [-2, 2] \)，当 \( x \in [-2, 0] \) 时，\( f(x) \) 是单调增函数；当 \( x \in [0, 2] \) 时，\( f(x) \) 是单调减函数，试证明 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处取得最大值。

证明：

由题意知，函数 \( f(x) \) 在 \( [-2, 0] \) 上单调递增，在 \( [0, 2] \) 上单调递减。这意味着：

- 在 \( [-2, 0] \) 区间内，随着 \( x \) 的增加，\( f(x) \) 的值也增加；

- 在 \( [0, 2] \) 区间内，随着 \( x \) 的增加，\( f(x) \) 的值减少。

因此，当 \( x = 0 \) 时，函数 \( f(x) \) 达到最大值。具体来说：

- 对于 \( x \in [-2, 0] \)，由于 \( f(x) \) 单调递增，所以 \( f(0) \) 是这个区间内的最大值；

- 对于 \( x \in [0, 2] \)，由于 \( f(x) \) 单调递减，所以 \( f(0) \) 也是这个区间内的最大值。

函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处取得最大值。

变式练习：

已知函数 \( f(x) \) 的定义域是 \( [-2, 2] \)，当 \( x \in [-2, 0] \) 时，\( f(x) \) 是单调减函数；

当 \( x \in [0, 2] \) 时，\( f(x) \) 是单调增函数，则 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处取得最小值。

证明：

由题意知，函数 \( f(x) \) 在 \( [-2, 0] \) 上单调递减，在 \( [0, 2] \) 上单调递增。这意味着：

- 在 \( [-2, 0] \) 区间内，随着 \( x \) 的增加，\( f(x) \) 的值减少；

- 在 \( [0, 2] \) 区间内，随着 \( x \) 的增加，\( f(x) \) 的值增加。

因此，当 \( x = 0 \) 时，函数 \( f(x) \) 达到最小值。具体来说：

- 对于 \( x \in [-2, 0] \)，由于 \( f(x) \) 单调递减，所以 \( f(0) \) 是这个区间内的最小值；

- 对于 \( x \in [0, 2] \)，由于 \( f(x) \) 单调递增，所以 \( f(0) \) 也是这个区间内的最小值。

函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处取得最小值。

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通过本节课的学习，我们不仅掌握了函数的单调性和最值的基本概念，还学会了如何结合函数的图象和性质来求解最值问题。特别是对于二次函数，我们重点探讨了参数变化对函数最值的影响。同时，通过具体的例题和变式练习，培养了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

在实际生活中，函数的单调性和最值问题有着广泛的应用，例如在经济学中用于成本和收益的优化，在物理学中用于运动轨迹的分析等。因此，理解和掌握这些知识不仅有助于提高数学素养，还能帮助我们更好地理解和解决实际问题。

希望同学们在课后能够多做练习，巩固所学知识，并尝试将所学应用于实际问题中，提升自己的数学思维能力。