高一数学必修一全册教案(人教A版)
4.2 一元二次方程根的问题
4.2.1 一元二次方程根的分布（1）
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第一部分 走进复习
在进入新课之前，我们先回顾一下一元二次方程的基本概念和解法，这将有助于我们更好地理解后续内容。
1. 一元二次方程的解法
一元二次方程的一般形式为 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其中 \( a \neq 0 \)。解这类方程有多种方法，包括因式分解法和求根公式法。
（1）因式分解法
因式分解法是通过将方程左侧表达式分解为两个一次多项式的乘积来求解。例如：
- 解方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)：
- 因式分解：\( (x-2)(x-3) = 0 \)
- 求解：\( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)
- 解方程 \( x^2 + 3x - 10 = 0 \)：
- 因式分解：\( (x+5)(x-2) = 0 \)
- 求解：\( x = -5 \) 或 \( x = 2 \)
（2）求根公式法
当因式分解较为复杂或无法直接分解时，我们可以使用求根公式法。对于方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其解为：
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
例如：
- 解方程 \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \)：
- 计算判别式：\( \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \)
- 求解：\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4} \)
- 所以，\( x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)，\( x_2 = \frac{-8}{4} = -2 \)
2. 一元二次方程根的判别式
判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \) 是判断一元二次方程根性质的重要工具。根据 \( \Delta \) 的值，可以确定方程的根的情况：
- 当 \( \Delta > 0 \) 时，方程有两个不相等的实数根。
- 当 \( \Delta = 0 \) 时，方程有两个相等的实数根（即一个重根）。
- 当 \( \Delta < 0 \) 时，方程无实数根，只有复数根。
例如：
- 对于方程 \( x^2 - 4x + 4 = 0 \)：
- 计算判别式：\( \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 \)
- 结论：方程有两个相等的实数根，即 \( x = 2 \)
- 对于方程 \( x^2 + 2x + 5 = 0 \)：
- 计算判别式：\( \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 \)
- 结论：方程无实数根，有两个共轭复数根
3. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
设 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 是一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的两个根，则有以下关系：
\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]
\[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} \]
这些关系不仅帮助我们快速验证根是否正确，还可以用于推导其他结论。例如：
- 对于方程 \( 2x^2 - 7x + 3 = 0 \)，已知 \( x_1 = 3 \)，则根据韦达定理可以求出另一个根 \( x_2 \)：
- \( x_1 + x_2 = \frac{7}{2} \Rightarrow 3 + x_2 = \frac{7}{2} \Rightarrow x_2 = \frac{1}{2} \)
4. 二次函数
二次函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 的图象是一条抛物线，其性质如下：
- 开口方向：当 \( a > 0 \) 时，抛物线开口向上；当 \( a < 0 \) 时，抛物线开口向下。
- 顶点坐标：抛物线的顶点为 \( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \)。
- 对称轴：抛物线的对称轴为直线 \( x = -\frac{b}{2a} \)。
- 单调性：当 \( a > 0 \) 时，若 \( x < -\frac{b}{2a} \)，则 \( y \) 随 \( x \) 增大而减小；若 \( x > -\frac{b}{2a} \)，则 \( y \) 随 \( x \) 增大而增大。当 \( a < 0 \) 时，情况相反。
例如：
- 函数 \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \)：
- 开口方向：向上
- 顶点坐标：\( \left( -\frac{-4}{2 \cdot 2}, f\left(\frac{4}{4}\right) \right) = (1, -1) \)
- 对称轴：\( x = 1 \)
5. 一元二次不等式
解一元二次不等式的关键在于找到对应二次方程的根，并结合图象分析不等式的解集。常见的不等式类型包括：
- \( ax^2 + bx + c > 0 \)
- \( ax^2 + bx + c < 0 \)
- \( ax^2 + bx + c \geq 0 \)
- \( ax^2 + bx + c \leq 0 \)
例如：
- 解不等式 \( x^2 - 5x + 6 > 0 \)：
- 先解方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，得 \( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)
- 根据图象，解集为 \( (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) \)
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第二部分 走进课堂
【探索新知】
# （一）一元二次方程根的正负分布
在一元二次方程中，根的正负分布是一个重要的研究方向。我们通过具体的例子来探讨不同情况下参数的取值范围。
例1．已知方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，分别在下列情况下求实数 \( a \) 的取值范围。
1. 无实数根：根据判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac < 0 \)，要求 \( b^2 < 4ac \)。例如，若 \( b = 2 \)，\( c = 3 \)，则 \( a > \frac{1}{3} \)。
2. 有解：此时 \( \Delta \geq 0 \)，即 \( b^2 - 4ac \geq 0 \)。例如，若 \( b = 2 \)，\( c = -3 \)，则 \( a \leq \frac{1}{3} \)。
3. 有两个不等的实根：此时 \( \Delta > 0 \)，即 \( b^2 - 4ac > 0 \)。例如，若 \( b = 2 \)，\( c = -3 \)，则 \( a < \frac{1}{3} \)。
4. 无正根：要求所有根都为非正数。假设 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 是两个根，则 \( x_1 + x_2 \leq 0 \) 且 \( x_1 x_2 \geq 0 \)。例如，若 \( b = 2 \)，\( c = 3 \)，则 \( a > 0 \)。
5. 只有一个正根：此时一个根为正，另一个为负。根据韦达定理，\( x_1 x_2 < 0 \)。例如，若 \( b = 2 \)，\( c = -3 \)，则 \( a > 0 \)。
6. 有两个不等正根：要求两个根都为正数。此时 \( x_1 + x_2 > 0 \) 且 \( x_1 x_2 > 0 \)。例如，若 \( b = -2 \)，\( c = 3 \)，则 \( a > 0 \)。
7. 有两个不等的非负根：要求两个根都为非负数。此时 \( x_1 + x_2 \geq 0 \) 且 \( x_1 x_2 \geq 0 \)。例如，若 \( b = 2 \)，\( c = 3 \)，则 \( a > 0 \)。
8. 有一个正根一个负根，且负根的绝对值大：此时 \( x_1 x_2 < 0 \) 且 \( |x_1| < |x_2| \)。例如，若 \( b = 2 \)，\( c = -3 \)，则 \( a > 0 \)。
9. 至少有一个正根：此时要求存在至少一个正根。根据韦达定理，\( x_1 x_2 \geq 0 \)。例如，若 \( b = -2 \)，\( c = 3 \)，则 \( a > 0 \)。
10. 至多有一个正根：此时要求最多只有一个正根。根据韦达定理，\( x_1 x_2 \leq 0 \)。例如，若 \( b = 2 \)，\( c = -3 \)，则 \( a > 0 \)。
# （二）一元二次方程的根控制在一个区间内
例2 已知方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，分别在下列情况下求参数 \( a \) 的取值范围。
1. 根都在（ ，4）内：要求两个根都在区间 \( ( , 4) \) 内。此时需要满足条件 \( f( ) > 0 \)，\( f(4) > 0 \)，且 \( \Delta \geq 0 \)。例如，若 \( b = 2 \)，\( c = 3 \)，则 \( a > 0 \)。
2. 根都大于：要求两个根都大于某个特定值。此时需要满足条件 \( f() > 0 \)，且 \( \Delta \geq 0 \)。例如，若 \( b = 2 \)，\( c = 3 \)，则 \( a > 0 \)。
例3 已知方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，分别在下列情况下求参数 \( a \) 的取值范围。
1. 在[-1，2]内无解：要求方程在区间 \([-1, 2]\) 内无解。此时需要满足条件 \( f(-1) > 0 \)，\( f(2) > 0 \)，且 \( \Delta < 0 \)。例如，若 \( b = 2 \)，\( c = 3 \)，则 \( a > 0 \)。
2. 在[-1，2]内只有一个解：要求方程在区间 \([-1, 2]\) 内只有一个解。此时需要满足条件 \( f(-1) f(2) < 0 \)，且 \( \Delta \geq 0 \)。例如，若 \( b = 2 \)，\( c = 3 \)，则 \( a > 0 \)。
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第三部分 走向课外
【课后作业】
1. 已知 \( A = \{ x \mid ax^2 + bx + c > 0 \} \)，若 \( A \cap B = \varnothing \)，求实数 \( a \) 的取值范围。
分析：由于 \( A \cap B = \varnothing \)，说明集合 \( A \) 和集合 \( B \) 没有交集，即方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 在区间 \( B \) 内无解。可以根据具体条件进行求解。
2. 当 \( a \) 为何值时，方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的根
- （1）在 \( (1, 3) \) 内；
- （2）都大于2？
分析：根据题目要求，利用根的分布理论，分别求解 \( a \) 的取值范围。可以通过计算判别式和根的具体位置来确定。
3. 方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 在 \( (1, 3) \) 有实数解，求实数 \( a \) 的取值范围。
分析：要求方程在给定区间内有实数解，可以根据区间端点处的函数值以及判别式来求解。
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4.2.2 一元二次方程根的分布（2）
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第一部分 走进复习
在上节课的基础上，我们进一步探讨一元二次方程根的分布问题。以下是几种常见的情形：
1. 无正根：要求所有根都为非正数。
2. 只有一个正根：要求存在唯一一个正根。
3. 有两个不等正根：要求两个根都为正数。
4. 有两个不等的非负根：要求两个根都为非负数。
5. 有一个正根一个负根，且负根的绝对值大：要求一个根为正，另一个为负，且负根的绝对值较大。
6. 至少有一个正根：要求存在至少一个正根。
7. 至多有一个正根：要求最多只有一个正根。
8. 根都在（ ，4）内：要求两个根都在给定区间内。
9. 根都大于：要求两个根都大于某个特定值。
此外，我们还讨论了根在一个区间内的问题：
1. 在[-1，2]内无解：要求方程在该区间内无解。
2. 在[-1，2]内只有一个解：要求方程在该区间内只有一个解。
3. 在[-1，2]内有两个不同的解：要求方程在该区间内有两个不同的解。
4. 在[-1，2]内有解：要求方程在该区间内有解。
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第二部分 走进课堂
【探索新知】
# （一）先求补集（补集思想）
在处理某些复杂的根分布问题时，先求补集的思想可以帮助简化问题。例如：
例1、已知下列三个方程： \( ax^2 + bx + c = 0 \)， \( dx^2 + ex + f = 0 \)， \( gx^2 + hx + i = 0 \) 至少有一个方程有实根，求实数 \( a \) 的取值范围。
分析：如果三个方程中至少有一个有实根，那么可以考虑先求三个方程都没有实根的情况，再求其补集。根据判别式，每个方程没有实根的条件是 \( \Delta < 0 \)。通过计算每个方程的判别式并求其补集，可以得到最终结果。
例2、已知函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 在区间 \([m, n]\) 上至少存在一实数 \( c \) 使 \( f(c) > 0 \)，求实数 \( a \) 的取值范围。
分析：可以考虑先求函数在区间 \([m, n]\) 上始终小于等于0的情况，再求其补集。根据函数的性质，可以通过计算区间端点处的函数值及判别式来确定。
# （二）一元二次方程根与基本初等函数
1. 方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 有实数根，求实数 \( a \) 的取值范围。
分析：根据判别式 \( \Delta \geq 0 \)，可以直接得出 \( a \) 的取值范围。
2. 已知 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 有正实数解，求实数 \( a \) 的取值范围。
分析：要求存在正实数解，可以根据韦达定理及根的正负分布理论来求解。
3. 方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 有实数根，求实数 \( a \) 的取值范围。
分析：根据判别式 \( \Delta \geq 0 \)，可以直接得出 \( a \) 的取值范围。
4. 若方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 所有解都大于1，求实数 \( a \) 的取值范围。
分析：要求所有解都大于1，可以根据根的分布理论及区间端点处的函数值来求解。
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第三部分 走向课外
【课后作业】
1. 当 \( a \) 为何值时，方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的根
- （1）都在 \( (1, 3) \) 内；
- （2）一个大于4，另一个小于4；
- （3）都小于2？
分析：根据题目要求，利用根的分布理论，分别求解 \( a \) 的取值范围。可以通过计算判别式和根的具体位置来确定。
2. 已知 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 有两个不等实数根，求实数 \( a \) 的取值范围。
分析：根据判别式 \( \Delta > 0 \)，可以直接得出 \( a \) 的取值范围。
3. 若方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 所有解都在 \( (1, 3) \) 内，求实数 \( a \) 的取值范围。
分析：要求方程在给定区间内有实数解，可以根据区间端点处的函数值以及判别式来求解。
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通过以上详细的学习和练习，我们不仅掌握了如何解一元二次方程，还深入探讨了根的分布问题。希望大家能够灵活运用所学知识，解决更多复杂的数学问题。