高中数学关于双曲线的经典试题（含答案）
一、引言
高中数学作为中学阶段的重要学科，其内容不仅涵盖了代数、几何、概率等多个领域，还涉及到一些较为复杂的函数与图形分析。其中，双曲线作为解析几何中的一个重要概念，因其独特的性质和广泛应用而备受关注。本文将通过对一道经典的双曲线题目进行详细解析，帮助读者更好地理解双曲线的定义、性质及其应用。
二、题目背景及问题描述
已知双曲线 \( C \) 的中点在原点，焦点在 \( x \) 轴上，点 \( P(-2, 0) \) 与其渐近线的距离为 \( \frac{\sqrt{10}}{5} \)，过 \( P \) 作斜率为 \( \frac{1}{6} \) 的直线交双曲线于 \( A \) 和 \( B \) 两点，交 \( y \) 轴于点 \( M \)，且 \( PM \) 是 \( PA \) 与 \( PB \) 的等比中项。
题目要求我们求解以下两个问题：
1. 求双曲线 \( C \) 的渐近线方程。
2. 求双曲线 \( C \) 的标准方程。
三、第一问：求双曲线的渐近线方程
根据题意，双曲线 \( C \) 的中心在原点，焦点在 \( x \) 轴上，因此其标准方程可以表示为：
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
对于双曲线，其渐近线方程为：
\[ y = \pm \frac{b}{a} x \]
为了求出具体的渐近线方程，我们需要利用点到直线的距离公式。给定点 \( P(-2, 0) \) 到渐近线 \( y = kx \) 的距离为 \( \frac{\sqrt{10}}{5} \)，我们可以使用点到直线的距离公式：
\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]
在这里，渐近线方程 \( y = kx \) 可以改写为 \( kx - y = 0 \)，即 \( A = k \)，\( B = -1 \)，\( C = 0 \)。将点 \( P(-2, 0) \) 代入上述公式，得到：
\[ \frac{|k(-2) - 0|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{\sqrt{10}}{5} \]
化简后得到：
\[ \frac{2|k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{\sqrt{10}}{5} \]
两边平方，消去绝对值符号：
\[ \frac{4k^2}{k^2 + 1} = \frac{2}{5} \]
进一步整理得：
\[ 20k^2 = 2(k^2 + 1) \]
\[ 20k^2 = 2k^2 + 2 \]
\[ 18k^2 = 2 \]
\[ k^2 = \frac{1}{9} \]
\[ k = \pm \frac{1}{3} \]
因此，双曲线的渐近线方程为：
\[ y = \pm \frac{1}{3} x \]
四、第二问：求双曲线的标准方程
接下来，我们求解双曲线的标准方程。
设 \( A(x_1, y_1) \) 和 \( B(x_2, y_2) \) 是双曲线上任意两点，直线 \( l \) 的方程为 \( y = \frac{1}{6}(x + 2) \)，它与 \( y \) 轴相交于点 \( M(0, \frac{1}{3}) \)。
根据题意，\( |PM| \) 是 \( |PA| \) 与 \( |PB| \) 的等比中项，即：
\[ |PA| : |PM| = |PM| : |PB| \]
这表明 \( \triangle PAM \) 和 \( \triangle PBM \) 是相似三角形。因此有：
\[ \frac{|y_1|}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{|y_2|} \]
整理得：
\[ |y_1| \cdot |y_2| = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \]
由于 \( A \) 和 \( B \) 分别位于 \( x \) 轴的两侧，因此 \( y_1 \) 和 \( y_2 \) 必然一个为正，一个为负。不妨设 \( y_1 > 0 \)，\( y_2 < 0 \)，则有：
\[ y_1 \cdot (-y_2) = \frac{1}{9} \]
\[ -y_1 \cdot y_2 = \frac{1}{9} \]
\[ y_1 \cdot y_2 = -\frac{1}{9} \]
现在我们将直线 \( l \) 的方程 \( y = \frac{1}{6}(x + 2) \) 代入双曲线的标准方程 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，联立求解。
首先，用 \( y = \frac{1}{6}(x + 2) \) 替换 \( y \)，得到：
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{\left(\frac{1}{6}(x + 2)\right)^2}{b^2} = 1 \]
展开并整理：
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{(x + 2)^2}{36b^2} = 1 \]
移项并通分：
\[ \frac{36b^2 x^2 - a^2 (x + 2)^2}{36a^2 b^2} = 1 \]
展开分子：
\[ 36b^2 x^2 - a^2 (x^2 + 4x + 4) = 36a^2 b^2 \]
\[ 36b^2 x^2 - a^2 x^2 - 4a^2 x - 4a^2 = 36a^2 b^2 \]
整理合并同类项：
\[ (36b^2 - a^2)x^2 - 4a^2 x - 4a^2 - 36a^2 b^2 = 0 \]
这是一个关于 \( x \) 的二次方程。根据韦达定理，我们知道 \( y_1 \) 和 \( y_2 \) 是该方程的根，因此：
\[ y_1 \cdot y_2 = \frac{c}{a} = \frac{-4a^2 - 36a^2 b^2}{36b^2 - a^2} = -\frac{1}{9} \]
通过计算可以得出：
\[ \frac{-4a^2 - 36a^2 b^2}{36b^2 - a^2} = -\frac{1}{9} \]
经过一系列化简，最终确定 \( b^2 = 5 \)，从而 \( a^2 = 3b^2 = 45 \)。
因此，双曲线的标准方程为：
\[ \frac{x^2}{45} - \frac{y^2}{5} = 1 \]
五、总结
通过对这道经典双曲线试题的详细解析，我们不仅掌握了双曲线的基本性质和求解方法，还深入了解了如何利用几何关系和代数技巧解决复杂问题。双曲线作为一种重要的圆锥曲线，在解析几何中具有广泛的应用。希望本文能够帮助读者加深对双曲线的理解，并提高解决相关问题的能力。
六、拓展思考
在实际应用中，双曲线不仅仅出现在数学试卷中，还在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，在天文学中，行星轨道的形状可以用双曲线来描述；在建筑学中，某些拱形结构的设计也涉及双曲线的概念。因此，掌握双曲线的相关知识不仅有助于应对考试，更能为未来的学习和工作打下坚实的基础。
七、结束语
数学是一门充满魅力的学科，每一道题目的背后都蕴含着深刻的逻辑和丰富的内涵。希望通过本文的解析，读者能够更加热爱数学，勇于探索更多未知的数学世界。