高考二轮数学考点突破复习：概率与统计

高考作为中国教育体系中至关重要的一环，承载着无数学子的梦想与希望。在这一关键时刻，如何高效地进行复习，特别是针对一些关键考点的突破性复习，显得尤为重要。其中，概率与统计作为高考数学的重要组成部分，不仅在考试中占有较大比重，而且在实际应用中也具有广泛的应用价值。

本文将围绕高考二轮复习中的概率与统计内容展开详细讨论，帮助考生更好地掌握这一领域的核心知识和解题技巧。

一、两个原理及其应用

# 1. 分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理（加法原理）和分步计数原理（乘法原理）是排列组合的基础工具，也是解决复杂计数问题的关键方法。在高考中，这两个原理的考查主要集中在排列、组合及其综合题方面，题目灵活多样，要求学生具备较强的逻辑思维能力和分析能力。

- 分类计数原理：当完成一件事有多种不同的方式时，每种方式又互不干扰，那么完成这件事的方法总数等于各方式方法数之和。例如，若某班有男生20人，女生15人，从中选出一名班长，则总的选择方法为20+15=35种。

- 分步计数原理：当完成一件事需要经过多个步骤，且每个步骤的方法数相互独立时，完成这件事的方法总数等于各步骤方法数的乘积。例如，从A城到B城有3条路线可选，从B城到C城有4条路线可选，那么从A城到C城的不同路线共有3×4=12种。

# 2. 排列与组合的概念及简单应用

排列是指从n个不同元素中取出m个元素按一定顺序排列的方式；组合则是指从n个不同元素中取出m个元素而不考虑顺序的方式。这两者在实际问题中有着广泛的应用，如抽奖、排队等问题。具体来说：

- 排列：设n个不同元素中取出m个元素的所有排列数为P(n,m)，则P(n,m) = n! / (n-m)!。例如，从5个人中选出3个人排成一队，共有P(5,3) = 5×4×3 = 60种排列方式。

- 组合：设n个不同元素中取出m个元素的所有组合数为C(n,m)，则C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]。例如，从5个人中选出3个人组成一个小组，共有C(5,3) = 10种组合方式。

二、二项式定理

# 1. 二项式定理的基本概念

二项式定理是代数中处理多项式展开的重要工具，尤其适用于求解形如(a+b)^n的表达式的展开式。其基本形式为：

\[(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n,k) a^{n-k} b^k\]

其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，即组合公式C(n,k) = n! / [k!(n-k)!]。

# 2. 指定项及系数问题

高考对二项式定理的考查，主要涉及利用通项公式求展开式的特定项，以及利用二项展开式性质求系数或与系数有关的问题。例如，求(a+b)^n展开式中含a^m b^n-m项的系数，可以通过组合公式直接计算得到C(n,m)。

此外，二项式定理还可以用于近似计算。例如，当n很大而x较小时，(1+x)^n ≈ 1 + nx + (n(n-1)/2)x^2，这种近似在物理、工程等领域有广泛应用。

三、概率与统计

# 1. 随机抽样与样本估计

概率与统计内容是中学数学的重要知识，与高等数学联系非常密切，是进一步学习高等数学的基础。在高考中，这部分内容通常以选择题、填空题和解答题的形式出现，分值在17分到20分之间。主要考查以下几点：

- 随机抽样的基本方法：包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等。这些方法在实际生活中有广泛应用，如市场调查、质量检测等。例如，在进行产品质量抽检时，通过随机抽样可以有效减少偏差，提高数据的可靠性。

- 样本估计总体的思想：通过对样本数据的分析，推断总体特征。例如，用样本均值估计总体均值，用样本方差估计总体方差。这不仅是统计学的基本思想，也是解决实际问题的重要手段。

# 2. 古典概型及其概率计算

古典概型是指所有可能的结果都是有限的，并且每个结果发生的可能性相同。对于这类问题，通常使用概率计算公式来求解。例如，掷一枚均匀硬币，正面朝上的概率为1/2；掷一颗骰子，点数为偶数的概率为3/6 = 1/2。

古典概型的核心在于理解基本事件的概念，并能准确计算出所求事件包含的基本事件数。例如，从一副扑克牌中随机抽取一张，问抽到红心的概率是多少？由于一副扑克牌中有13张红心，因此概率为13/52 = 1/4。

# 3. 离散型随机变量的均值与方差

离散型随机变量是概率论中的一个重要概念，它取有限个值，每个值都有一定的概率。对于离散型随机变量X，其均值E(X)和方差Var(X)分别反映了该随机变量的集中趋势和离散程度。

- 均值：E(X) = Σ[x_i * P(x_i)]，即每个取值与其概率的乘积之和。例如，设随机变量X的取值为1、2、3，对应的概率分别为0.2、0.5、0.3，则E(X) = 1*0.2 + 2*0.5 + 3*0.3 = 2.1。

- 方差：Var(X) = E[(X - E(X))^2] = Σ[(x_i - E(X))^2 * P(x_i)]，表示各个取值偏离均值的程度。

例如，继续上述例子，Var(X) = (1-2.1)^2 * 0.2 + (2-2.1)^2 * 0.5 + (3-2.1)^2 * 0.3 = 0.69。

四、高考试题预测

根据近年来全国及各自主命题省市的高考试题分析，概率与统计部分的考查呈现出以下几个特点：

# 1. 对两个原理及二项式定理的考查

- 基础题为主：这部分内容的考查多为基础题，难度适中，重点在于理解和应用基本概念。例如，全国Ⅰ卷第6题、山东卷第8题等都涉及了分类计数原理和分步计数原理的应用。

- 选择题和填空题为主：这类题型能够快速检验学生对知识点的掌握情况，同时也便于阅卷。例如，北京卷第4题、浙江卷第17题等都采用了选择题或填空题的形式。

- 能力要求：除了基础知识外，还要求学生具备理解问题的能力、分析和解决问题的能力及分类讨论的思想。例如，江西卷第14题、上海卷第14题等都体现了对学生综合能力的要求。

# 2. 对二项式定理的考查

- 指定项及系数问题：这是二项式定理考查的重点之一，要求学生熟练掌握通项公式及其应用。例如，全国Ⅰ卷第5题就涉及了二项式展开式的特定项求解。

- 选择题和填空题为主：虽然也有少量综合性大题，但总体上仍以选择题和填空题为主。例如，江西卷第6题、全国Ⅱ卷第14题等都属于此类题型。

概率与统计作为高考数学的重要组成部分，不仅涵盖了丰富的理论知识，还在实际应用中有着广泛的用途。通过深入理解分类计数原理、分步计数原理、二项式定理、随机抽样、古典概型及离散型随机变量等核心概念，并结合大量练习题进行巩固，考生可以在高考中取得优异成绩。

同时，注重培养逻辑思维能力和分析问题的能力，将有助于更好地应对各种复杂的数学问题。希望每位考生都能在高考中发挥出色，实现自己的梦想。