高考数学复习：解析几何专题热点复习指导

天津市第四十二中学 张鼎言

解析几何是高考数学中的重要组成部分，它不仅考察学生对几何图形的理解和掌握，还要求学生具备较强的代数运算能力和逻辑推理能力。本文将针对解析几何中的几个重点问题进行详细分析，并提供一些解题技巧和方法，帮助考生更好地应对这一部分的考试。

一、垂直平分线与椭圆相交的问题

在解析几何中，直线与曲线的相交问题是一个常见的考点。例如，给定一个椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 和一条通过原点的直线 \(l: y = kx\)，如果这两者相互垂直，则有以下关系：

\[x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0\]

进一步可以推导出：

\[3m^2 = 2b^2(k^2 + 1) \quad (*)\]

这里的关键在于如何将几何条件转化为等量关系。我们可以通过消参的方法减少参数个数，从而简化问题。

具体来说，当 \(k \to \infty\) 时，意味着 \(|x_1| = |y_1|\)，此时我们可以根据原方程 \(\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1\) 来求解。

同理，当 \(k = 0\) 时，可以得出 \(D(0, y_2)\) 也在轨迹上。

注：本题（Ⅱ）涉及的是过两点的直线与椭圆相交的情况，设直线方程一般不使用两点式，而是采用 \(y = kx + m\) 的形式。

这是因为在解析几何中，涉及到两个参数 \(k\) 和 \(m\) 时，消参的过程就是把几何条件（这里是垂直）变成等量关系，通过等量关系（这里是 \(3m^2 = 2b^2(k^2 + 1)\)）来减少参数个数。

二、抛物线的垂直平分线问题

接下来，我们来看一个关于抛物线的题目。假设 \(A(x_1, y_1)\) 和 \(B(x_2, y_2)\) 是抛物线 \(y = 2x^2\) 上的两点，\(l\) 是线段 \(AB\) 的垂直平分线。我们需要解决两个问题：

1. 当且仅当 \(x_1 + x_2\) 取何值时，直线 \(l\) 经过抛物线的焦点 \(F\)？

抛物线的标准方程为 \(x^2 = -4ay\)，其焦点为 \(F(0, -a)\)，准线方程为 \(y = a\)。由于 \(A(x_1, y_1)\) 和 \(B(x_2, y_2)\) 在抛物线上，且 \(l\) 垂直平分 \(AB\) 并经过焦点 \(F\)，因此有：

\[ |FA| = |FB| \]

根据抛物线的定义，可以得到：

\[ |FA| = y_1 + a = |FB| = y_2 + a \]

因此，\(y_1 = y_2\)，即 \(2x_1^2 = 2x_2^2\)，进而可以得出：

\[ (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) = 0 \]

由于 \(A\) 和 \(B\) 是不同的点，所以 \(x_1 \neq x_2\)，因此 \(x_1 + x_2 = 0\) 是所求结论。

2. 当直线 \(l\) 的斜率为 2 时，求 \(l\) 在 \(y\) 轴上的截距的取值范围。

设 \(l: y = 2x + b\)，我们需要求解 \(b\) 的范围。这里的关键在于将 \(l\) 与 \(AB\) 的关系联系起来。我们知道 \(l\) 是 \(AB\) 的垂直平分线，因此可以通过 \(l_{AB}\) 来解决问题。

假设 \(l_{AB}: y = -\frac{1}{2}x + m\)，并且该直线过点 \((-\frac{1}{2}, -\frac{1}{8})\)。为了确保 \(l_{AB}\) 与抛物线有交点，需要满足判别式 \(\Delta > 0\)，即：

\[ \Delta = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 8m > 0 \]

解得 \(m > -\frac{1}{32}\)。接下来，利用 \(l_{AB}\) 与 \(l\) 的关系，可以得到：

\[ \frac{y_1 + y_2}{2} = -\frac{1}{2}(x_1 + x_2) + m \]

再结合点 \((-\frac{1}{2}, -\frac{1}{8})\) 在直线上，可以得出：

\[ -\frac{1}{8} + m = -\frac{1}{2} + b \]

最终可以解得 \(b = m + \frac{3}{8}\)。因此，\(b\) 的取值范围为：

\[ b > -\frac{1}{32} + \frac{3}{8} = \frac{11}{32} \]

注：本题难点在于从 \(l\) 转化为 \(l_{AB}\)，再由 \(l_{AB}\) 回到 \(l\) 上来。这提示了一条有普遍意义的规律：对于关系较远的两个“元素”之间的关系，可以通过转化为关系较近的“元素”之间的关系，再回到原来“元素”之间的关系。

三、双曲线与椭圆的关系

我们来看一个关于双曲线和椭圆的题目。假设双曲线 \(C\) 与椭圆 \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1\) 有相同的焦点，且直线 \(y = -x\) 为 \(C\) 的一条渐近线。我们需要解决两个问题：

1. 求双曲线 \(C\) 的方程。

椭圆 \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1\) 的焦距为 \(c = 2\)，且渐近线为 \(y = -x\)，因此双曲线 \(C\) 的方程为：

\[ \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} = 1 \]

2. 过点 \(P(0, 4)\) 的直线 \(l\) 交双曲线 \(C\) 于 \(A\)、\(B\) 两点，交 \(x\) 轴于 \(Q\) 点（\(Q\) 点与 \(C\) 的顶点不重合）。

当 \(\overrightarrow{PA} = \lambda_1 \overrightarrow{AQ}\) 和 \(\overrightarrow{PB} = \lambda_2 \overrightarrow{BQ}\)，且 \(\lambda_1 + \lambda_2 = -\frac{1}{2}\) 时，求 \(Q\) 点的坐标。

首先，设直线 \(l\) 的方程为 \(y = kx + 4\)，并与双曲线 \(C\) 相交。联立双曲线方程和直线方程，可以得到一个二次方程。通过韦达定理，可以得出：

\[ x_1 + x_2 = -\frac{4k}{1 - k^2} \]

\[ x_1 x_2 = -\frac{8}{1 - k^2} \]

进一步利用向量关系，可以得出：

\[ \lambda_1 + \lambda_2 = -\frac{1}{2} \]

通过计算，最终可以解得 \(Q\) 点的坐标为 \((2, 0)\)。

解析几何是高考数学中的一块重要内容，涵盖了直线、圆锥曲线等多个知识点。通过对上述问题的详细分析，我们可以看到，解析几何不仅考察学生的几何直观，更强调代数运算和逻辑推理的能力。希望考生们能够通过多做练习，逐步提高自己的解题能力，争取在高考中取得优异的成绩。