高一数学上册课堂练习题(含答案)

一、选择题

1. 某商店某种商品的定价策略分析

某商店有一种商品，进货价为每件40元。当售价为50元时，一个月能卖出500件。通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件。为了使销售该商品的月利润最大化，商店应将每件商品定价为多少元？

选项：

- A．45元

- B．55元

- C．65元

- D．70元

答案： D

解析：

设每件商品的定价为 \( x \) 元，则一个月的销量为 \( 500 - (x - 50) \times 10 = 1000 - 10x \) 件。

因此，月利润 \( y \) 可以表示为：

\[ y = (x - 40)(1000 - 10x) \]

展开并整理得：

\[ y = -10(x - 40)(x - 100) \]

这是一个二次函数，其一般形式为 \( y = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a = -10 \)，\( b = 1400 \)，\( c = -40000 \)。

二次函数的顶点公式为 \( x = -\frac{b}{2a} \)，代入具体数值：

\[ x = -\frac{1400}{2 \times (-10)} = 70 \]

因此，当定价为70元时，月利润达到最大值。故正确答案为D。

拓展讨论

# 1. 市场需求与价格的关系

在上述问题中，我们探讨了商品的价格与市场需求之间的关系。实际上，这种关系在经济学中被称为“价格弹性”。价格弹性衡量的是价格变动对需求量的影响程度。在这个例子中，价格每增加1元，需求量减少10件，表明该商品的需求价格弹性较大，即消费者对价格变化非常敏感。

理解这一点对于商家制定定价策略至关重要。如果商品的需求价格弹性较小（即需求量对价格变化不敏感），商家可以通过提高价格来增加利润；反之，如果需求价格弹性较大，过高的价格可能会导致需求量大幅下降，从而减少总利润。

# 2. 成本与利润的平衡

商家在定价时不仅要考虑市场需求，还要考虑成本因素。在这道题目中，商品的进货价为40元，意味着每售出一件商品，商家至少需要收回这40元的成本才能避免亏损。因此，定价不仅是为了覆盖成本，更重要的是要实现利润最大化。

利润最大化的目标是找到一个最优的价格点，使得总收入减去总成本后的剩余部分最大。从数学角度看，这就是求解二次函数的最大值问题。通过计算得出，当定价为70元时，月利润达到最大值。

# 3. 实际应用中的复杂性

在现实生活中，商品的定价策略远比这道题目复杂得多。除了价格和需求量之间的直接关系外，还涉及其他多种因素，如市场竞争、品牌效应、促销活动等。例如，商家可能会通过打折、满减等方式吸引顾客，或者与其他商家合作进行联合促销。这些策略都会影响最终的销售量和利润。

此外，季节性因素也会影响商品的需求量。某些商品在特定季节或节日会有更高的需求，商家可以借此机会调整价格，以获取更多的利润。例如，冬季的保暖用品、夏季的冷饮等，在旺季时适当提价可以显著增加销售额。

# 4. 数学模型的应用

在这道题目中，我们使用了二次函数模型来描述价格与利润之间的关系。实际上，数学模型在商业决策中有着广泛的应用。通过对实际数据的分析和建模，可以帮助商家更好地理解市场动态，做出科学合理的决策。

例如，线性回归模型可以用来预测未来的销售趋势；时间序列分析可以用于识别季节性波动；优化算法可以解决资源分配问题等。掌握这些数学工具，不仅可以帮助商家提高运营效率，还可以在激烈的市场竞争中占据优势。

# 5. 教育意义

这道题目不仅是对数学知识的考查，更是对学生综合能力的培养。它要求学生能够将抽象的数学概念应用于实际问题中，锻炼他们的逻辑思维和解决问题的能力。同时，通过这道题目，学生还可以了解到经济学中的基本原理，拓宽他们的知识面。

在教学过程中，教师可以引导学生思考更多类似的实际问题，鼓励他们提出自己的解决方案，并通过讨论和交流不断深化对知识的理解。这样不仅可以提高学生的数学水平，还能培养他们的创新精神和实践能力。

这道关于商品定价的选择题不仅考察了学生对二次函数的理解和应用能力，还涉及到经济学中的价格弹性、成本与利润的平衡等重要概念。通过深入分析和拓展讨论，我们可以看到数学在商业决策中的广泛应用，以及它对培养学生综合素质的重要作用。

希望同学们能够在学习过程中，不仅掌握书本知识，还能将其灵活运用于实际生活，成为一名具备创新能力和实践精神的优秀人才。