高二数学必修一函数的概念习题
1. 函数概念的基本理解
在高二数学中，函数是一个非常重要的概念。它不仅贯穿了整个高中数学的学习，而且在实际生活中也有广泛的应用。函数是描述变量之间关系的一种工具，通过函数可以定量地研究和表达事物之间的依赖关系。因此，理解和掌握函数的概念及其相关知识，对于学生来说至关重要。
2. 求函数的定义域
定义域是指函数自变量的所有可能取值的集合。求解函数的定义域时，我们需要考虑以下几点：
- 分母不为零：如果函数中含有分母，则分母不能为零。
- 根号内的非负性：如果函数中含有根号，则根号内的表达式必须非负。
- 对数函数中的正数限制：如果函数中含有对数，则对数的底数必须大于零且不等于1，真数必须大于零。
- 其他特殊函数的限制：如三角函数、反三角函数等。
让我们来看一些具体的例子：
例题1：求下列函数的定义域：
1. \( y = \frac{3x + 2}{4x - 1} \)
2. \( y = \sqrt{x^2 - x - 2} \)
解析：
1. 对于 \( y = \frac{3x + 2}{4x - 1} \)，分母不能为零，即 \( 4x - 1 \neq 0 \)，解得 \( x \neq \frac{1}{4} \)。
因此，该函数的定义域为 \( (-\infty, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, +\infty) \)。
2. 对于 \( y = \sqrt{x^2 - x - 2} \)，根号内的表达式 \( x^2 - x - 2 \geq 0 \)。我们先解不等式 \( x^2 - x - 2 \geq 0 \)，因式分解得到 \( (x - 2)(x + 1) \geq 0 \)。
解这个不等式，可得 \( x \leq -1 \) 或 \( x \geq 2 \)。因此，该函数的定义域为 \( (-\infty, -1] \cup [2, +\infty) \)。
3. 求函数的定义域与值域
除了定义域外，值域也是函数的重要属性之一。值域是指函数所有可能的输出值的集合。求解函数的值域时，通常需要结合函数图像或通过代数方法进行分析。
例题2：求下列函数的定义域与值域：
1. \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \)
2. \( y = \sqrt{1 - x^2} \)
解析：
1. 对于 \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \)，首先确定定义域。由于分母 \( x^2 + 1 \) 总是大于零，因此该函数的定义域为 \( (-\infty, +\infty) \)。接下来求值域。我们可以通过换元法来解决这个问题。
设 \( t = x^2 + 1 \)，则 \( t \geq 1 \)，从而 \( y = \frac{x}{t} \)。考虑到 \( t \) 的范围，我们可以推导出 \( y \) 的取值范围为 \( [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] \)。
2. 对于 \( y = \sqrt{1 - x^2} \)，首先确定定义域。根号内的表达式 \( 1 - x^2 \geq 0 \)，解得 \( -1 \leq x \leq 1 \)。因此，该函数的定义域为 \( [-1, 1] \)。接下来求值域。
显然，当 \( x \) 在区间 \( [-1, 1] \) 内变化时，\( y \) 的最大值为 1（当 \( x = 0 \) 时），最小值为 0（当 \( x = \pm 1 \) 时）。因此，该函数的值域为 \( [0, 1] \)。
4. 已知函数的定义域求另一个函数的定义域
有时我们会遇到已知一个函数的定义域，要求另一个函数的定义域的情况。这类问题通常需要根据给定条件进行适当的变换。
例题3：已知函数 \( f(x+1) \) 的定义域为 \( [2, 3] \)，则 \( f(x) \) 的定义域为（ ）。
A. \( [2, 3] \)
B. \( [1, 4] \)
C. \( [1, 6] \)
D. \( [4, 1] \)
解析：已知 \( f(x+1) \) 的定义域为 \( [2, 3] \)，即 \( 2 \leq x+1 \leq 3 \)。解这个不等式，得到 \( 1 \leq x \leq 2 \)。因此，\( f(x) \) 的定义域为 \( [1, 2] \)。选项 B 是正确的。
5. 判断函数是否相同
判断两个函数是否表示同一个函数，需要同时满足以下两个条件：
- 定义域相同；
- 对应法则相同。
例题4：下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）。
A. \( y_1 = x \)，\( y_2 = \sqrt{x^2} \)
B. \( y_1 = x \)，\( y_2 = \frac{x^2}{x} \)
C. \( y_1 = |x| \)，\( y_2 = \sqrt{x^2} \)
D. \( y_1 = x \)，\( y_2 = x^2 \)
解析：
- A 选项中，\( y_1 = x \) 和 \( y_2 = \sqrt{x^2} = |x| \) 不同，因为 \( y_2 \) 的值域为非负实数。
- B 选项中，\( y_1 = x \) 和 \( y_2 = \frac{x^2}{x} = x \) 相同，但 \( y_2 \) 的定义域排除了 \( x = 0 \)，因此它们不是同一函数。
- C 选项中，\( y_1 = |x| \) 和 \( y_2 = \sqrt{x^2} = |x| \) 完全相同，因此它们表示同一函数。
- D 选项中，\( y_1 = x \) 和 \( y_2 = x^2 \) 显然不同。
因此，正确答案是 C。
6. 求函数的定义域
有些题目会给出函数的图形，要求根据图形判断函数的定义域和值域。这类问题需要仔细观察图形，并结合函数的基本性质进行分析。
例题5：函数 \( y = \frac{1}{1-x} \) 的定义域为（ ）。
A. \( (-\infty, 1] \)
B. \( (-\infty, 2] \)
C. \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, 1] \)
D. \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, 1] \)
解析：对于 \( y = \frac{1}{1-x} \)，分母不能为零，即 \( 1-x \neq 0 \)，解得 \( x \neq 1 \)。因此，该函数的定义域为 \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \)。选项 A 是正确的。
7. 函数图象的识别
在选择题中，常常会给出多个函数图象，要求从中选出符合条件的图象。这类问题需要我们熟悉常见函数的图象特征，并能快速识别。
例题6：集合 \( M = \{ x | -2 \leq x \leq 2 \} \)，\( N = \{ y | 0 \leq y \leq 2 \} \)，给出下列四个图形，其中能表示以 \( M \) 为定义域，\( N \) 为值域的函数关系的是（ ）。
解析：根据题意，函数的定义域为 \( [-2, 2] \)，值域为 \( [0, 2] \)。我们需要找到一个图象，在横坐标 \( x \) 的取值范围为 \( [-2, 2] \) 时，纵坐标 \( y \) 的取值范围为 \( [0, 2] \)。
通过观察各个选项，我们可以发现只有某个图象符合这些条件。
8. 判断哪些图象不是函数图象
有些题目会给出多个图象，要求判断哪些图象不是函数图象。这需要我们了解函数图象的基本特征，尤其是“垂直线测试”：如果一条垂直线与图象相交于多于一点，则该图象不是函数图象。
例题7：下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）。
A. B. C. D.
解析：根据垂直线测试，我们可以逐个检查每个图象。若某条垂直线与图象相交于多于一点，则该图象不是函数图象。通过观察，我们可以发现某些图象不符合这一条件。
9. 求复合函数的定义域
复合函数是指由两个或多个函数组合而成的新函数。求解复合函数的定义域时，需要考虑内层函数和外层函数的定义域。
例题8：已知函数 \( f(x) \) 的定义域为 \( [-1, 2) \)，则 \( f(x-1) \) 的定义域为（ ）。
A. \( [-1, 2) \)
B. \( [0, 1) \)
C. \( [0, 3) \)
D. \( [-2, 1) \)
解析：已知 \( f(x) \) 的定义域为 \( [-1, 2) \)，即 \( -1 \leq x < 2 \)。对于 \( f(x-1) \)，令 \( t = x-1 \)，则 \( -1 \leq t < 2 \)，解得 \( 0 \leq x < 3 \)。
因此，\( f(x-1) \) 的定义域为 \( [0, 3) \)。选项 C 是正确的。
10. 求函数的具体值
求函数的具体值是函数学习中的基本操作之一。这类问题通常涉及直接代入和简单的运算。
例题9：已知 \( f(x) = x^2 + x + 1 \)，则 \( f(2) = \_\_\_\_\_\_ \)；\( f[f(2)] = \_\_\_\_\_\_ \)。
解析：
1. \( f(2) = 2^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 \)。
2. \( f[f(2)] = f(7) = 7^2 + 7 + 1 = 49 + 7 + 1 = 57 \)。
因此，\( f(2) = 7 \)，\( f[f(2)] = 57 \)。
11. 求函数的解析式
有时题目会给出函数的部分信息，要求我们求出函数的解析式。这类问题需要灵活运用函数的性质和已知条件。
例题10：已知 \( f(2x + 1) = x^2 - 2x \)，则 \( f(3) = \_\_\_\_\_\_ \)。
解析：设 \( t = 2x + 1 \)，则 \( x = \frac{t - 1}{2} \)。
将 \( x \) 代入原函数，得到 \( f(t) = \left( \frac{t - 1}{2} \right)^2 - 2 \left( \frac{t - 1}{2} \right) = \frac{(t - 1)^2}{4} - (t - 1) = \frac{t^2 - 2t + 1}{4} - t + 1 = \frac{t^2 - 6t + 5}{4} \)。
因此，\( f(3) = \frac{3^2 - 6 \cdot 3 + 5}{4} = \frac{9 - 18 + 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \)。
12. 求函数的定义域与值域
求函数的定义域与值域是函数学习中的重要环节。这类问题需要综合考虑函数的各种性质。
例题11：求函数 \( y = \frac{1}{1 - 3x} \) 的定义域与值域。
解析：
1. 定义域：分母不能为零，即 \( 1 - 3x \neq 0 \)，解得 \( x \neq \frac{1}{3} \)。因此，该函数的定义域为 \( (-\infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, +\infty) \)。
2. 值域：考虑 \( y = \frac{1}{1 - 3x} \)，当 \( x \to \frac{1}{3}^- \) 时，\( y \to +\infty \)；当 \( x \to \frac{1}{3}^+ \) 时，\( y \to -\infty \)。
因此，该函数的值域为 \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)。
13. 求二次函数的值域
二次函数的值域可以通过顶点公式或配方法求解。
例题12：函数 \( f(x) = x^2 + 2x \)，\( x \in [-2, 1] \) 的值域是 \(\_\_\_\_\_\_ \)。
解析：这是一个开口向上的抛物线，顶点公式为 \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \)。将 \( x = -1 \) 代入函数，得到 \( f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 \)。
因此，顶点为 \( (-1, -1) \)。接下来计算端点处的函数值：\( f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0 \)，\( f(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3 \)。因此，该函数的值域为 \( [-1, 3] \)。
14. 求有理函数的值域
有理函数的值域可以通过极限和渐近线来求解。
例题13：函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) 的值域是 \(\_\_\_\_\_\_ \)。
解析：该函数的定义域为 \( (-\infty, +\infty) \)。当 \( x \to \pm \infty \) 时，\( f(x) \to 0 \)。当 \( x = 0 \) 时，\( f(x) = 1 \)。因此，该函数的值域为 \( (0, 1] \)。
15. 求含参函数的值
含参函数的求解需要结合参数的特性进行分析。
例题14：已知 \( a + a^{-1} = 3 \)，求 \( a + a^{-2} \) 的值。
解析：已知 \( a + a^{-1} = 3 \)，两边平方得 \( (a + a^{-1})^2 = 9 \)，展开得 \( a^2 + 2 + a^{-2} = 9 \)，即 \( a^2 + a^{-2} = 7 \)。因此，\( a + a^{-2} = 7 \)。
16. 求指数函数的值
指数函数的求解需要结合指数运算法则进行分析。
例题15：求函数 \( y = 2^x \) 的值域。
解析：指数函数 \( y = 2^x \) 的定义域为 \( (-\infty, +\infty) \)。当 \( x \to -\infty \) 时，\( y \to 0 \)；当 \( x \to +\infty \) 时，\( y \to +\infty \)。
因此，该函数的值域为 \( (0, +\infty) \)。
通过以上详细解析，我们可以看到函数的概念及其相关知识点在高中数学中的重要性和广泛应用。希望同学们能够认真理解每一个步骤，掌握解题技巧，为后续学习打下坚实的基础。
