高二数学下册抛物线测试题
篇1：高二数学下册抛物线测试题
一、选择题(每小题6分，共42分)
1.(江苏南通九校模拟，2)抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为( )
A. B.- C.4 D.-4
答案：B
解析：y=ax2 x2= y,又准线方程为y=1,故- =1,a=- .
2.(江苏苏州一模，5)抛物线y= x2的焦点坐标是( )
A.(0， ) B.( ，0)
C.(1，0) D.(0，1)
答案：D
解析：y= x2 x2=4y,其焦点为(0，1).
3.(中科大附中模拟，7)已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点(m,-2)到焦点的距离为4，则m的值为( )
A.4 B.-2 C.4或-4 D.2或-2
答案：C
解析：设抛物线方程为x2=-2py,(p>0),则 -(-2)=4,p=4,故抛物线方程为x2=-8y,m2=-8×(-2),m=±4.
4.(湖北黄冈一模，11)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点，若x1+x2=3p，则|PQ|等于( )
A.4p B.5p C.6p D.8p
答案：A
解析：|PQ|=|PF|+|FQ|=x1+ +x2+ =x1+x2+p.又x1+x2=3p,故|PQ|=4p.
5.(江苏南通九校模拟，9)已知点P(m,3)是抛物线y=x2+4x+n上距点A(-2,0)最近一点，则m+n等于( )
A.1 B.3 C.5 D.7
答案：C
解析：由已知得P为抛物线的顶点(-2，3)，故3=(-2)2+4×(-2)+n,n=7,m+n=-2+7=5.
6.(浙江联考，7)一动圆圆心在抛物线x2=4y上，过点(0，1)且恒与定直线l相切，则直线l的方程为( )
A.x=1 B.x= C.y=-1 D.y=-
答案：C
解析：根据抛物线定义，圆心到焦点(0,1)的距离与到准线的距离相等，故l为准线y=-1.
7.(北京东城区一模，8)已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是A( ，4)，则|PA|+|PM|的最小值是( )
A. B.4 C. D.5
答案：C
解析：|PA|+|PM|=|PA|+|PM|+ - =|PA|+|PF|- ≥|AF|- = - = .
二、填空题(每小题5分，共15分)
8.过点(0，2)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有_____________条.
答案：3
解析：两条切线和一条平行于对称轴的直线，应填3.
9.过抛物线y2=4x的焦点F，作倾角为 的弦AB，则AB的长是_____________.
答案：
解析：利用结论|AB|= .
10.(湖北十一校大联考，16)设PQ是抛物线y2=2px(p>0)上过焦点F的一条弦，l是抛物线的准线，给定下列命题：①以PF为直径的圆与y轴相切;②以QF为直径的圆与y轴相切;③以PQ为直径的圆与准线l相切;④以PF为直径的圆与y轴相离;⑤以QF为直径的圆与y轴相交.则其中所有正确命题的序号是：________________________.
答案：①②③
解析：设P(x1,y1),PF中点为A( ),A到y轴的距离为 |PF|,故①正确;同理②也正确;又|PQ|=x1+x2+p，PQ的中点B( )到准线的距离为 ,故③正确，④⑤错误.
三、解答题(11—13题每小题10分，14题13分，共43分)
11.已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A、B两点.
(1)求证：|AB|= ;
(2)求|AB|的最小值.
(1)证明：如右图，焦点F的坐标为F( ,0).
设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ(x- ),与抛物线方程联立，消去y并整理，得
tan2θx2-(2p+ptan2θ)x+ =0.
此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2= .
设A、B到抛物线的准线x=- 的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p= .
(2)解析：因|AB|= 的定义域是0<θ<π，又sin2θ≤1，
所以，当θ= 时，|AB|有最小值2p.
12.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证： 为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论?
解析：(1)当AB⊥x轴时，m=n=p，
∴ = .
(2)当AB不垂直于x轴时，设AB:y=k(x- ),
A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,
∴m= +x1,n= +x2.
将AB方程代入抛物线方程，得
k2x2-(k2p+2p)x+ =0,
∴
∴ =
= .
本题若推广到椭圆，则有 = (e是椭圆的离心率);若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有 = (e为双曲线的离心率).
13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且|MA|=|MB|.
(1)若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值;
(2)若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.
(1)证明：设M(y02,y0)，直线ME的斜率为k(k>0),则直线MF的斜率为-k，
直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).
由 得
ky2-y+y0(1-ky0)=0.
解得y0yE= ,
∴yE= ,∴xE= .
同理可得yF= ,∴xF= .
∴kEF= (定值).
(2)解析：当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1，由(1)得E((1-y0)2,(1-y0))F((1+y0)2,-(1+y0)).
设重心G(x,y)，则有
消去参数y0,得y2= (x>0).
14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M(1,-3)、N(5，1)，若点C满足 =t +(1-t) (t∈R),点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.
(1)求证： ⊥ ;
(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)，使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在，请说明理由.
(1)证明：由 =t +(1-t) (t∈R)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：y+3= (x-1),即y=x-4.
由 (x-4)2=4x x2-12x+16=0.
∴x1x2=16，x1+x2=12，
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.
∴x1x2+y1y2=0.故 ⊥ .
(2)解析：存在点P(4，0)，使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点.
由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，
故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-16=0,
∴y1+y2=4k,y1y2=-16.
kOAkOB= =-1.
∴OA⊥OB,故以AB为直径的圆都过原点.
设弦AB的中点为M(x,y)，
则x= (x1+x2),y= (y1+y2).
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k(4k)+8=4k2+8.
∴弦AB的中点M的轨迹方程为： 消去k，得y2=2x-8.
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圆锥曲线的由来
圆锥曲线是圆、椭圆、抛物线与双曲线的总称,它们都可以通过不经过圆锥顶点的平面截圆锥面得到,圆锥曲线也因此而得名.
圆锥曲线是继直线、圆以后人类认识比较早的一类曲线.早在两千多年前,古希腊的数学家就开始详细研究圆锥曲线.他们曾用三种不同的圆锥面导出圆锥曲线,即用垂直于圆锥母线的平面截圆锥面,当圆锥的顶角为直角、锐角或钝角时,分别得到抛物线、椭圆和双曲线.公元前3世纪,希腊数学家阿波罗尼奥斯(Apollonus)首次从一个对顶圆锥得到所有的圆锥曲线,并创立了相当完美的圆锥曲线理论.
篇2：高二数学下册抛物线测试题
精编高二数学下册期末备考综合测试题
篇3：高二数学下册抛物线测试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题中只有一项符合题目要求)
1.设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法多，应( )
A.从东边上山 B.从西边上山
C.从南边上山D.从北边上山
答案 D
2.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )
A.7个B.8个
C.9个D.10个
答案 C
解析 由题意，问题的关键在于确定函数定义域的个数：第一步，先确定函数值1的原象：因为y=x2，当y=1时，x=1或x=-1，为此有三种情况：即{1}，{-1}，{1，-1};第二步，确定函数值4的原象，因为y=4时，x=2或x=-2，为此也有三种情况：{2}，{-2}，{2，-2}.由分步计数原理，得到：3×3=9个.选C.
3.5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为( )
A.CB.25
C.52D.A
答案 B
4.6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车多坐4人，则不同的乘车方法数为( )
A.40B.50
C.60D.70
答案 B
5.在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )
A.24种B.48种
C.96种D.144种
答案 C
解析 当A出现在第一步时，再排A，B，C以外的三个程序，有A种，A与A，B，C以外的三个程序生成4个可以排列程序B、C的空档，此时共有AAA种排法;当A出现在后一步时的排法与此相同，故共有2AAA=96种编排方法.
6.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有( )
A.2520B.
C.1260D.5040
答案 A
解析 先从10人中选出2人承担甲任务有C种选法，再从剩下的8人中选出2人分别承担乙、丙任务，有A种选法，由分步乘法计数原理共有CA=2520种不同的选法.故选A.
7.有5列火车停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )
A.78种B.72种
C.120种D.96种
答案 A
解析 不考虑不能停靠的车道，5辆车共有5!=120种停法.
A停在3道上的停法：4!=24(种);B种停在1道上的停法：4!=24(种);
A、B分别停在3道、1道上的停法：3!=6(种).
故符合题意的停法：120-24-24+6=78(种).故选A.
8.已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，则自然数n等于( )
A.6B.5
C.4D.3
答案 C
解析 令x=1，得2n=16，则n=4.故选C.
9.6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有( )
A.30种B.144种
C.5种D.4种
答案 B
解析 分两步完成：第一步，其余3人排列有A种排法;第二步，从4个可插空档中任选3个给甲、乙、丙3人站有A种插法.由分步乘法计数原理可知，一共有AA=144种.
10.已知8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是( )
A.28B.38
C.1或38D.1或28
答案 C
解析 Tr+1=(-a)rCx8-2r，令8-2r=0?r=4.
∴T5=C(-a)4=1120，∴a=±2.当a=2时，和为1;
当a=-2时，和为38.
11.有A、B、C、D、E、F共6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车运两个，若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其他任何限制;要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为( )
A.168B.84
C.56D.42
答案 D
解析 分两类：①甲运B箱，有C·C·C种;②甲不运B箱，有C·C·C.
∴不同的分配方案共有C·C·C+C·C·C=42种.故选D.
12.从2名女教师和5名男教师中选出三位教师参加高考某考场的监考工作.要求一女教师在室内流动监考，另外两位教师固定在室内监考，问不同的安排方案种数为( )
A.30B.180
C.630D.1080
答案 A
解析 分两类进行：第一类，在两名女教师中选出一名，从5名男教师中选出两名，且该女教师只能在室内流动监考，有C·C种选法;第二类，选两名女教师和一名男教师有C·C种选法，且再从选中的两名女教师中选一名作为室内流动监考人员，即有C·C·C共10种选法，∴共有C·C+C·C·C=30种，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13.已知(x+2)n的展开式中共有5项，则n=________，展开式中的常数项为________.(用数字作答)
答案 4 16
解析 ∵展开式共有5项，∴n=4，常数项为C24=16.
14.5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种.
答案 72
解析 甲、乙两人之间至少有一人，就是甲、乙两人不相邻，则有A·A=72(种).
15.已知(x+1)6(ax-1)2的展开式中含x3项的系数是20，则a的值等于________.
答案 0或5
16.用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现，这样的四位数共有________个.(用数字作答)
答案 14
解析 因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有24-2=14个.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，求不同的买法有多少种(用数字作答).
解析 分两类：第一类，买5本2元的有C58种;第二类，买4本2元的和2本1元的有C48×C23种.故共有C58+C48×C23=266种不同的买法种数.
18.(12分)4个相同的红球和6个相同的白球放入袋中，现从袋中取出4个球;若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法?
解析 依题意知，取出有4个球中至少有2个红球，可分三类：①取出的全是红球有C种方法;②取出的4个球中有3个红球的取法有CC;③取出的4个球中有2个红球的取法有CC种，由分类计数原理，共有C+C·C+C·C=115(种).
19.(12分)从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数.试问：
(1)能组成多少个不同的四位数?
(2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个?
(3)两个偶数不相邻的四位数有几个?(所有结果均用数值表示)
解析 (1)四位数共有CCA=216个.
(2)上述四位数中，偶数排在一起的有CCAA=108个.
(3)两个偶数不相邻的四位数有CCAA=108个.
20.(12分)已知(1+2)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的，试求展开式中二项式系数大的项.
解析 由题意知展开式中第k+1项系数是第k项系数的2倍，是第k+2项系数的，
∴解得n=7.
∴展开式中二项式系数大两项是：
T4=C(2)3=280x与T5=C(2)4=560x2.
21.(12分)某单位有三个科室，为实现减负增效，每科室抽调2人，去参加再就业培训，培训后这6人中有2人返回原单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，问共有多少种不同的安排方法?
解析 6人中有2人返回原单位，可分两类：
(1)2人来自同科室：CC=6种;
(2)2人来自不同科室：CCC，然后2人分别回到科室，但不回原科室有3种方法，故有CCC·3=36种.
由分类计数原理共有6+36=42种方法.
22.(12分)10件不同厂生产的同类产品：
(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法?
(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法?
解析 (1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A=1680(或C·A)(种).
(2)分步完成.先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A种方法，共有A·A=50400(或C·A)(种).
篇4：高二数学下册抛物线测试题
点击下载：
数学高二下册平面向量测试题及详解.doc
篇5：高二数学下册抛物线测试题
点击下载：高二数学下册第三章测试题及参考答案
篇6：高二数学下册抛物线测试题
一、选择题
1 若抛物线 上一点 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 的坐标为( )
A B C D
2 椭圆 上一点 与椭圆的两个焦点 、 的连线互相垂直，
则△ 的面积为( )
A B C D
3 若点 的坐标为 ， 是抛物线 的焦点，点 在
抛物线上移动时，使 取得最小值的 的坐标为( )
A B C D
4 与椭圆 共焦点且过点 的双曲线方程是( )
A B C D
5 若直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，
那么 的取值范围是( )
A ( ) B ( ) C ( ) D ( )
6 抛物线 上两点 、 关于直线 对称，
且 ，则 等于( )
A B C D
二、填空题
1 椭圆 的焦点 、 ，点 为其上的动点，当∠ 为钝角时,点 横坐标的取值范围是
2 双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则这双曲线的离心率为___
3 若直线 与抛物线 交于 、 两点，若线段 的中点的横坐标是 ，则 ______
4 若直线 与双曲线 始终有公共点，则 取值范围是
5 已知 ，抛物线 上的点到直线 的最段距离为__________
三、解答题
1 当 变化时，曲线 怎样变化?
2 设 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上，且 ，
求△ 的面积
3 已知椭圆 ， 、 是椭圆上的两点，线段 的垂直
平分线与 轴相交于点 证明：
4 已知椭圆 ，试确定 的值，使得在此椭圆上存在不同
两点关于直线 对称
(数学选修1-1)第二章 圆锥曲线
参考答案
[提高训练C组]
一、选择题
1 B 点 到准线的距离即点 到焦点的距离，得 ，过点 所作的高也是中线
，代入到 得 ，
2 D ，相减得
3 D 可以看做是点 到准线的距离，当点 运动到和点 一样高时， 取得最小值，即 ，代入 得
4 A 且焦点在 轴上，可设双曲线方程为 过点
得
5 D 有两个不同的正根
则 得
6 A ，且
在直线 上，即
二、填空题
1 可以证明 且
而 ，则
即
2 渐近线为 ，其中一条与与直线 垂直，得
3
得 ，当 时， 有两个相等的实数根，不合题意
当 时，
4
当 时，显然符合条件;
当 时，则
5 直线 为 ，设抛物线 上的点
三、解答题
1 解：当 时， ，曲线 为一个单位圆;
当 时， ，曲线 为焦点在 轴上的椭圆;
当 时， ，曲线 为两条平行的垂直于 轴的直线;
当 时， ，曲线 为焦点在 轴上的双曲线;
当 时， ，曲线 为焦点在 轴上的等轴双曲线
2 解：双曲线 的 不妨设 ，则
，而
得
3 证明：设 ，则中点 ，得
得
即 ， 的垂直平分线的斜率
的垂直平分线方程为
当 时，
而 ，
4 解：设 ， 的中点 ，
而 相减得
即 ，
而 在椭圆内部，则 即
篇7：高二数学下册抛物线测试题
点击下载：高二数学下册第三章三角恒等变换测试题
篇8：高二数学下册抛物线测试题
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高二下册数学第三章单元测试题.doc
篇9：高二数学下册抛物线测试题
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)
1.设Y对X的回归直线方程=2-1.5x，当变量x增加一个单位时，y平均( )
A.增加1.5个单位 B.增加2个单位
C.减少1.5个单位 D.减少2个单位
解析：由回归直线方程斜率的意义易知C正确.
答案：C
2.方程C=C的解集为( )
A.{4} B.{14}
C.{4,6} D.{14,2}
解析：由C=C得x=2x-4或x+2x-4=14，解得x=4或x=6.经检验知x=4或x=6符合题意.
答案：C
3.某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为
( )
A. B.
C. D.
解析：连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为
P=C12=.
答案：A
4.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方程，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都为t，那么下列说法正确的是
( )
A.l1与l2相交点为(s，t)
B.l1与l2相交，相交点不一定是(s，t)
C.l1与l2必关于点(s，t)对称
D.l1与l2必定重合
解析：因为线性回归方程过样本点的中心(s，t)，所以l1，l2都过点(s，t)，即相交于(s，t).
答案：A
5.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=，k=1,2，…，则P(2A. B.
C. D.
解析：P(2答案：A
6.3个人坐在一排6个座位上，3个空位只有2个相邻的坐法种数为( )
A.24 B.36
C.48 D.72
解析：先将三个人排好，共有6种排法，空出4个位，再将空座位插空，有4×3=12种排法，故有6×12=72种排法.
答案：D
7.如果χ2≥5.024，那么认为“X与Y有关系”犯错的概率为( )
A.1% B.95%
C.5% D.99%
解析：χ2>3.841，故有95%的把握认为有关，犯错的概率为5%.
答案：C
8.(x-)n的展开式中，第3项的系数为36，则含x2的项为( )
A.36 B.-36
C.36x2 D.-36x2
解析：(x-)n的展开式的通项为
Tk+1=Cxn-k(-)k.
∴36=C(-)2，解得n=4.
令n-k=2得k=2，故含x2的项为T3=36x2.
答案：C
9.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：记“第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，则P(A)==，
P(A∩B)==.
故P(B|A)==.
答案：C
10.已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X～N(110,52)，据此估计，成绩落在区间(100,120]内的人数为( )
A.55 B.56
C.57 D.58
解析：∵X～N(110,52)，
∴μ=110，σ=5.
又P(100故所求人数为0.954 4×60≈57.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，以X表示取到白球的个数，则P(X=1)=________.
解析：P(X=1)===0.6.
答案：0.6
12.一颗骰子抛掷60次，出现1点的次数为X，则D(X)=________.
解析：一颗骰子抛掷1次，出现1点的概率为，
则X～B(60，)，D(X)=60××=.
答案：
13.在某次学校的游园活动中，高二(2)班设计了这样一个游戏：在一个纸箱里放进了5个红球和5个白球，这些球除了颜色不同外完全相同，一次性从中摸出5个球，摸到4个或4个以上红球即为中奖，则中奖的概率是________.(精确到0.001)
解析：设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N=10，M=5，n=5，于是中奖的概率为P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=+≈0.103.
答案：0.10314.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有________种.
解析：因为10÷8的余数为2，所以可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C=28种走法.
答案：28
三、解答题(本大题共4小题，共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分12分)某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，于是该单位领导决定在餐厅墙壁上张贴文明标语看是否有效果，并对文明标语张贴前后餐椅的损坏情况作了一个统计，具体数据如下：
损坏餐椅数末损坏餐椅数合计
文明标语张贴前40160200
文明标语张贴后30170200
合计70330400
试根据以上数据判断在餐厅墙壁上张贴文明标语对减少餐椅损坏是否有关系.
解：根据题中的数据得
χ2=≈1.73，
因为1.73<3.841，所以没有理由认为在餐厅墙壁上张贴文明标语对减少餐椅损坏有关系.
16.(本小题满分12分)已知(-)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.
(1)证明展开式中没有常数项;
(2)求展开式中所有的有理项.
解：由题意：2C·=1+C·()2，
即n2-9n+8=0，
∴n=8(n=1舍去).
∴Tr+1=C()8-r·(-)r=(-)r·Cx·x=(-1)r· (0≤r≤8，r∈Z)
(1)若Tr+1是常数项，则=0，
即16-3r=0，
∵r∈Z，这不可能，
∴展开式中没有常数项;
(2)若Tr+1是有理项，当且仅当为整数，
∴0≤r≤8，r∈Z，
∴r=0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是：T1=x4，T5=x，T9=x-2.
17.(本小题满分12分)(·湖北高考)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位： mm)对工期的影响如下表：
降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900
工期延误
天数Y02610
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，求：
(1)工期延误天数Y的均值与方差;
(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.
解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：
P(X<300)=0.3，P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4，
P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2，
P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.
所以Y的分布列为
Y02610
P0.30.40.20.1
于是E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3，
D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，
得P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7.
又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)
=0.9-0.3=0.6，
所以由条件概率得P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)===.
故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.
18.(本小题满分14分)某校举办一场蓝球投篮选拔比赛，比赛的规则如下：每个选手先后在二分区、三分区和中场跳球区三个位置各投一球，只有当前一次球投进后才能投下一次，三次全投进就算胜出，否则即被淘汰.已知某选手在二分区投中球的概率为，在三分区投中球的概率为，在中场跳球区投中球的概率为，且在各位置投球是否投进互不影响.
(1)求该选手被淘汰的概率;
(2)该选手在比赛中投球的个数记为X，求随机变量X的分布列与数学期望E(X).
解：(1)法一记“该选手能投进第i个球”的事件为Ai(i=1,2,3)，
则P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，
∴该选手被淘汰的概率
P=P(+A1∩+A2∩A2∩)
=P(1)+P(A1)P()+P(A1)P(A2)P()
=+×+××=.
法二：记“该选手能投进第i个球”的事件为Ai(i=1,2,3)，
则P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=.
∴该选手被淘汰的概率
P=1-P(A1∩A2∩A3)=1-P(A1)P(A2)P(A3)
=1-××=.
(2)X的可能值为1,2,3，P(X=1)=P()=，
P(X=2)=P(A1∩)=P(A1)P()=×=，
P(X=3)=P(A1∩A2)=P(A1)P(A2)=×=.
∴X的分布列为
X123
P
∴E(X)=1×+2×+3×=.
