高一上学期期中考后，二次函数闭区间上最值题解析

在高一数学的学习中，二次函数的最值问题是一个非常重要的内容。尤其是在闭区间上的最值问题，不仅考察了学生对二次函数性质的理解，还要求他们具备一定的分析和解决问题的能力。本文将详细探讨二次函数闭区间上最值问题的不同类型，并通过具体例题进行解析，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、正向型问题

正向型问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。这类问题的关键在于讨论对称轴与定义域区间的相互位置关系。根据具体情况，可以将其分为以下四种情形：

# 1. 轴定区间定

当二次函数是给定的，且定义域区间也是固定的时，我们称之为“定二次函数在定区间上的最值”。这种情况下，二次函数的形式为 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a, b, c \) 是常数，且 \( a \neq 0 \)。

定义域区间为 \([m, n]\)，其中 \( m \) 和 \( n \) 也是常数。

解题思路：

1. 确定对称轴的位置：二次函数的对称轴公式为 \( x = -\frac{b}{2a} \)。

2. 判断对称轴是否在区间内：

- 如果对称轴 \( x = -\frac{b}{2a} \) 在区间 \([m, n]\) 内，则需要分别计算 \( f(m) \)、\( f(n) \) 和 \( f(-\frac{b}{2a}) \)，然后比较这三个值，找出最大值和最小值。

- 如果对称轴不在区间内，则只需要比较 \( f(m) \) 和 \( f(n) \)，因为此时函数在区间内的最值一定出现在端点处。

例题1：

设二次函数 \( f(x) = 2x^2 - 4x + 3 \)，求其在区间 \([-1, 3]\) 上的最大值和最小值。

解：

首先，计算对称轴 \( x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1 \)，显然对称轴在区间 \([-1, 3]\) 内。接下来，计算 \( f(-1) \)、\( f(3) \) 和 \( f(1) \)：

- \( f(-1) = 2(-1)^2 - 4(-1) + 3 = 9 \)

- \( f(3) = 2(3)^2 - 4(3) + 3 = 9 \)

- \( f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 1 \)

因此，在区间 \([-1, 3]\) 上，最大值为 9，最小值为 1。

# 2. 轴定区间变

当二次函数是确定的，但其定义域区间随参数变化时，我们称之为“定函数在动区间上的最值”。

这种情况下，二次函数的形式仍然是 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，但定义域区间为 \([m(t), n(t)]\)，其中 \( m(t) \) 和 \( n(t) \) 是关于参数 \( t \) 的函数。

解题思路：

1. 确定对称轴的位置：对称轴仍然为 \( x = -\frac{b}{2a} \)。

2. 讨论对称轴与动区间的相对位置：

- 对称轴固定，而区间是动态变化的。我们需要考虑不同参数 \( t \) 下，对称轴与区间的相对位置，进而确定最值。

例题2：

设二次函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \)，求其在区间 \([t, t+2]\) 上的最大值和最小值，其中 \( t \) 是实数。

解：

首先，计算对称轴 \( x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \)。接下来，讨论对称轴与区间的相对位置：

- 当 \( t < 1 < t+2 \)，即 \( -1 < t < 1 \) 时，对称轴在区间内，最值出现在端点和对称轴处。

- 当 \( t \geq 1 \) 或 \( t+2 \leq 1 \)，即 \( t \geq 1 \) 或 \( t \leq -1 \) 时，对称轴不在区间内，最值出现在端点处。

具体计算略去，读者可以根据上述思路自行完成。

# 3. 轴变区间定

当二次函数随着参数的变化而变化，但定义域区间固定时，我们称之为“动二次函数在定区间上的最值”。

这种情况下，二次函数的形式为 \( f(x) = a(t)x^2 + b(t)x + c(t) \)，其中 \( a(t) \)、\( b(t) \) 和 \( c(t) \) 是关于参数 \( t \) 的函数，而定义域区间为 \([m, n]\)，其中 \( m \) 和 \( n \) 是常数。

解题思路：

1. 确定对称轴的位置：对称轴为 \( x = -\frac{b(t)}{2a(t)} \)，这是一个关于 \( t \) 的函数。

2. 讨论对称轴与固定区间的相对位置：

- 对称轴是动态变化的，而区间是固定的。我们需要考虑不同参数 \( t \) 下，对称轴与区间的相对位置，进而确定最值。

例题3：

设二次函数 \( f(x) = tx^2 - (t+1)x + 1 \)，求其在区间 \([0, 2]\) 上的最大值和最小值，其中 \( t \) 是实数。

解：

首先，计算对称轴 \( x = -\frac{-(t+1)}{2t} = \frac{t+1}{2t} \)。接下来，讨论对称轴与区间的相对位置：

- 当 \( 0 < \frac{t+1}{2t} < 2 \)，即 \( t > 0 \) 时，对称轴在区间内，最值出现在端点和对称轴处。

- 当 \( t \leq 0 \) 时，对称轴不在区间内，最值出现在端点处。

具体计算略去，读者可以根据上述思路自行完成。

# 4. 轴变区间变

当二次函数和定义域区间都随参数变化时，我们称之为“动二次函数在动区间上的最值”。

这种情况下，二次函数的形式为 \( f(x) = a(t)x^2 + b(t)x + c(t) \)，定义域区间为 \([m(t), n(t)]\)，其中 \( a(t) \)、\( b(t) \)、\( c(t) \)、\( m(t) \) 和 \( n(t) \) 都是关于参数 \( t \) 的函数。

解题思路：

1. 确定对称轴的位置：对称轴为 \( x = -\frac{b(t)}{2a(t)} \)，这是一个关于 \( t \) 的函数。

2. 讨论对称轴与动区间的相对位置：

- 对称轴和区间都是动态变化的。我们需要考虑不同参数 \( t \) 下，对称轴与区间的相对位置，进而确定最值。

例题4：

设二次函数 \( f(x) = tx^2 - (t+1)x + 1 \)，求其在区间 \([t, t+2]\) 上的最大值和最小值，其中 \( t \) 是实数。

解：

首先，计算对称轴 \( x = -\frac{-(t+1)}{2t} = \frac{t+1}{2t} \)。接下来，讨论对称轴与区间的相对位置：

- 当 \( t < \frac{t+1}{2t} < t+2 \)，即 \( t > 0 \) 时，对称轴在区间内，最值出现在端点和对称轴处。

- 当 \( t \leq 0 \) 时，对称轴不在区间内，最值出现在端点处。

具体计算略去，读者可以根据上述思路自行完成。

二、逆向型问题

逆向型问题是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。这类问题通常需要反向思考，从已知条件出发，推导出未知参数。

解题思路：

1. 设定未知参数：设二次函数的一般形式为 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a, b, c \) 中至少有一个是未知参数。

2. 利用最值条件：根据题目给出的最值条件，建立方程或不等式。

3. 求解未知参数：通过解方程或不等式，求出未知参数的取值范围或具体值。

例题5：

已知二次函数 \( f(x) = x^2 + bx + c \) 在区间 \([-1, 2]\) 上的最大值为 5，最小值为 1，求 \( b \) 和 \( c \) 的值。

解：

首先，计算对称轴 \( x = -\frac{b}{2} \)。根据题目条件，最大值为 5，最小值为 1。我们可以列出以下方程组：

1. \( f(-1) = 1 - b + c = 1 \)

2. \( f(2) = 4 + 2b + c = 5 \)

联立方程组，解得 \( b = 0 \)，\( c = 0 \)。进一步验证，发现对称轴为 \( x = 0 \)，满足条件。

通过对二次函数闭区间上最值问题的详细分类和解析，我们可以看到，解决这类问题的关键在于准确把握对称轴与定义域区间的相对位置。无论是正向型还是逆向型问题，都需要灵活运用二次函数的性质，结合具体的题目条件，逐步推理，最终得出正确答案。

希望同学们通过本文的学习，能够更加熟练地掌握这一重要知识点，为今后的学习打下坚实的基础。